序关系理论中全序与偏序的区别在序关系理论里偏序和全序的关系可以概括为一句话全序是偏序的一种更强的特殊情况。一、偏序Partial Order设有一个集合 S以及定义在 S 上的一个关系“”。如果这个关系满足下面三条性质就称它为偏序1. 自反性对任意元素 a都有a a2. 反对称性如果 a b并且 b a那么一定有a b3. 传递性如果 a b并且 b c那么就有a c偏序的关键特点偏序不要求任意两个元素都能比较大小。也就是说可能存在两个元素 a 和 b既不是 a b也不是 b a。这种情况就叫做不可比较。偏序的例子最经典的例子是集合之间的包含关系。例如在集合 {1,2,3} 的子集里{1} 不是 {2} 的子集{2} 也不是 {1} 的子集所以 {1} 和 {2} 在“包含关系”下是不可比较的。二、全序Total Order / Linear Order全序首先必须满足偏序的全部条件也就是自反性反对称性传递性除此之外全序还要求再满足一个更强的条件4. 完全性可比性对任意两个元素 a 和 b至少有一个成立a bb a这意味着任意两个元素都必须可以比较大小。全序的例子最常见的例子就是实数集上的大小关系。例如任取两个实数 a 和 b总可以判断a b或b a所以实数上的通常大小关系就是一个全序。三、全序和偏序的核心区别最本质的区别只有一个偏序允许某些元素之间无法比较全序要求任意两个元素之间都能比较换句话说偏序有些元素之间“比不出大小”全序所有元素之间都“比得出大小”四、两者之间的关系可以把它记成下面这句话全序 偏序 任意两元素都可比因此有两个结论每个全序一定是偏序但不是每个偏序都是全序五、直观理解可以把“序关系”理解成一种排队方式。全序的感觉所有元素都能排成一条直线。任意两个元素之间都知道谁在前、谁在后。偏序的感觉只能确定部分元素之间的先后关系。有些元素之间没有先后可言也就无法直接比较。六、典型例子对比1. 偏序但不是全序的例子1集合的包含关系例如{1} 和 {1,2} 可以比较因为 {1} 是 {1,2} 的子集{1} 和 {2} 不可比较因为谁都不是谁的子集2正整数的整除关系例如2 可以整除 43 可以整除 6但是 2 和 3 之间2 不能整除 33 不能整除 2所以 2 和 3 在整除关系下不可比较。因此整除关系是偏序但不是全序。2. 全序的例子1整数的大小关系例如 2 5或者 5 2总能判断一个成立。2实数的大小关系任意两个实数都能比较大小。3字典序在适当定义下字典序通常也是全序。七、总结一句话偏序允许“不可比较”全序不允许“不可比较”。所以偏序更一般全序更特殊、更强八、应用上的理解在实际数学和计算机科学中全序常用于表示数值大小排名先后时间顺序偏序常用于表示层级关系依赖关系包含关系任务先后中的部分约束例如文件夹包含关系适合看成偏序比赛名次排序更接近全序九、结尾总结最后用最简洁的话概括偏序有些元素之间不能比较。全序任何两个元素之间都能比较。因此全序是偏序的一种特殊情形。