1、特征值、特征向量的定义是个n阶矩阵是一个数存在一个非零向量使得那么称是的特征值是的对应与特征值的特征向量。1.1、如何求解特征值和特征向量是特征方程可以求出例题求特征值和特征向量解解出,再带入求出特征向量我们列举一下为10的特征向量例子把10带入得到矩阵现在我们要把这个矩阵化简为行阶梯矩阵由于这个矩阵是带入特征值所以它一定不是满秩的我们可以看出它的秩就是2,直接把一行写成0再进行化简就简单多了。1.2、如何快速求解特征方程的根①我们直接使用特征值的性质提取出一个公因子②看出0,1,-1,2-2这些显然的因子然后再使用多项式的带余除法③如果多项式的系数都是整数则有理根一定都是整数且均是常数项的因子2、特征值的性质①是的特征值如果给了可以带入求中的未知数。②若则是的特征值③若是的特征值则证明、、3、特征向量的性质①是的属于的特征向量是的非零解。可以用来求A中的未知数②重特征值至多只有个线性无关的特征向量其次方程的基础解系数量为k。③若是的属于不同特征值、的特征向量则线性无关。④若是的属于不同特征值、的特征向量则当,不是的任何特征值的特征向量。常考情形⑤ 一个特征向量是不能属于两个不同的特征值的。4、常用矩阵的特征值和特征向量①由于所以伴随矩阵的特征值等于任意两个特征值的乘积。②③的特征值还是但是特征向量需要重新计算。对于一个秩为1的矩阵其特征值证明因为所以则故0为的特征值。根据前面的特征向量的性质0至少为n-1重根。5、矩阵的相似重点定义设是两个阶方阵若存在阶可逆矩阵使得则称相似于记成5.1、相似矩阵的性质这些性质即使全满足也不能推出两个矩阵是相似的还需要从定义出发①②③由下面的④推过来④或⑤⑥各阶主子式之和分别相等5.2、重要结论①若则对于除转置外的相似他们用的都是相同的手段即P相同。②若则5.3、如何证明两个矩阵相似①定义法找出P使得②传递法后面重点则③性质只能证否6、矩阵的相似对角化若存在n阶可逆矩阵P使得其中B是对角矩阵则称A可相似对角化记作称B是A的相似标准型6.1相似对角化的条件①A可以相似对角化A有n个线性无关的特征向量②A可以相似对角化A对应于每个重特征值都有个线性无关的特征向量③n阶矩阵A有n个不同的特征向量A可以相似对角化④n阶矩阵A为实对称矩阵A可以相似对角化后面证明6.2、求可逆矩阵P使得①求的特征值②求n个特征值对应的线性无关的特征向量③令则6.3、判别一个矩阵是否相似于对角矩阵①判断是否是实对称矩阵实对称矩阵必相似于对角矩阵②特征值是否都是实单根③特征值是重根若对应有个线性无关的特征向量则相似于对角矩阵若对应的线性无关的特征向量少于个则不能相似于对角矩阵。回顾之前的结论无论对于AB是否可逆都满足6.4、可以求解哪些问题①求一个矩阵的高次幂②已知特征值和特征向量可以求A矩阵7、实对称矩阵的相似对角化7.1、实对称矩阵的性质①实对称矩阵的不同特征值的特征向量正交。②相同特征值的特征向量可能正交也可能线性无关③对于任意的阶实对称矩阵存在阶正交矩阵使得这里的是的特征向量正交化、单位化其实只有特征值相同的需要后的矩阵这里因为特征值相同时把两个向量正交依然是原来的空间所以不影响。实对称矩阵一定可以通过正交矩阵相似对角化普通矩阵一定不能。7.2、实对称矩阵相似对角化的基本步骤①求的特征值②求特征值对应的特征向量③将正交化若需要的话、单位化为④令则为正交矩阵且施密特正交化公式设线性无关但不正交令