第一章飞行的物理基础1.1 升力的产生一只四旋翼无人机能飞起来全靠四个旋翼产生的升力。升力是什么从哪里来大小由什么决定本节我们从流体力学的三个经典理论出发一步步拆解升力的物理本质。1.1.1 伯努利原理流速与压力的“跷跷板”现象引入拿两张纸竖直靠近往中间吹气——纸不仅不分开反而贴得更紧了。为什么因为吹气使纸中间的空气流速变快压力降低外侧大气压就把纸压向中间。这正是伯努利原理的核心在稳定流动的流体中流速大的地方压强小流速小的地方压强大。数学表达对于不可压缩、无粘性的理想流体沿同一条流线有其中p—— 流体压强Paρ—— 流体密度kg/m³空气约1.225 kg/m³v—— 流速m/sg—— 重力加速度h—— 高度在水平流动h近似不变时简化为螺旋桨叶片上的应用螺旋桨的横截面是翼型上表面拱起弯度大下表面较平。当空气流过叶片时上表面路径长空气被“拉长”流速快下表面路径短流速慢根据伯努利原理上表面压力低下表面压力高→ 上下压力差形成向上的升力。注意这个“等时论”上表面路径长所以流速快是简化解释实际翼型升力还涉及气流偏转和环量但伯努利原理仍能给出直观的定性理解。实验验证用一张纸感受升力取一张纸条水平放在嘴前向纸条上表面吹气——纸条会向上飘起。这正是上表面流速快、压力低下表面相对高压把纸推上去。四旋翼的螺旋桨也一样只是把“吹气”换成了旋翼高速旋转。1.1.2 动量理论升力来自对空气的“向下推”伯努利原理解释了叶片表面的压力分布但另一个视角更宏观牛顿第三定律——升力本质是旋翼对空气施加向下的力空气反作用于旋翼向上的力。简单模型滑流理论将螺旋桨简化为一个致动盘actuator disc它是一个无限薄的圆盘能对通过的空气均匀施加压力跃升。当旋翼旋转时盘上方的空气被“吸”入速度从远处的 v悬停时为0加速到盘面处的 vi诱导速度经过盘面后空气继续加速向下最终在远后方达到滑流速度 v∞​w动量定理推导升力考虑悬停状态无人机静止在空中。取一个包围旋翼的控制体根据动量定理单位时间通过控制体的空气动量变化率 作用在空气上的净外力关键结论悬停状态下物理含义要获得更大的升力要么增大旋翼盘面积 A要么提高诱导速度 vi即转得更快。但 vi 增大需要更多功率PLvi​因此四旋翼设计师常在桨叶尺寸和电机功率间权衡。与伯努利视角的关联动量理论给出的是宏观推力伯努利解释的是微观压力分布。两者等价旋翼对空气的向下动量变化正是叶片上下表面压力差累积的结果。1.1.3 旋翼拉力与转速的关系从理论到实测实际工程中我们关心的是电机给螺旋桨一个转速 nn转/秒或RPM能产生多少拉力 TT理论近似拉力与转速平方成正比1.1.4 从旋翼到四旋翼合力与平衡单个旋翼产生升力 Tii1,2,3,4。四旋翼的总升力为T总T1T2T3T4T悬停时需要 T总mgm 为无人机总质量gg 为重力加速度。但仅平衡重力还不够。四个旋翼的升力差异还会产生力矩控制姿态前两个1、2号与后两个3、4号转速差 → 产生俯仰力矩左2、3号与右1、4号转速差 → 产生横滚力矩对角旋翼正反转产生的反扭矩差异 → 产生偏航力矩这些将在 1.2 节反扭矩和后续控制部分详细展开。本节数学工具小结概念使用工具压力与速度关系代数方程伯努利动量变化率导数与乘法动量定理诱导速度与推力平方根、幂运算拉力与转速的比例幂函数平方、立方微元升力积分定积分转速的物理含义导数角速度 dθ/dt微积分初步理解 ddtdtd​变化率和 ∫∫累积量的物理意义就能顺畅理解螺旋桨如何将连续的旋转运动转化为离散的空气动量变化。思考与练习如果空气密度降低一半比如在4000米高原为维持同样升力螺旋桨转速需要变为原来的多少倍忽略电机和桨的效率变化用 T∝ρn2T∝ρn2 估算一架四旋翼总重1.5 kg单个旋翼直径25 cm悬停时每个旋翼的拉力大约是多少估算此时旋翼的诱导速度 vivi​空气密度1.225 kg/m³。网上有一种说法“螺旋桨上表面气流速度快是因为路径更长为了同时到达后端”。试用动量理论评价这个说法的合理性。